1 . Küme.
2 . Ortak özellikleri olan varlıklar, nesneler bütünü.
3 . Mecazi Görüşleri, çıkarları bir olan kimseler bütünü, ekip.
4 . Askerlik Çeşitli sınıf veya birliklere bağlı elemanların, belirli bir taktik görevi gerçekleştirmek üzere, tek komutanın emri altında birleştirilmesinden oluşan kıta topluluğu.
g boş olmayan bir küme ve *, g'de bir, ikili işlem olsun. (g,*) ikilisine bir "tek işlemli cebirsel yapı" denir.
grup tek işlemli cebirsel yapıdır.
tanım: (g,*) cebirsel yapısını grup yapan özellikler:
1) * işlemi g'de kapalıdır.
2) * işlemi birleşmelidir.
3) g'nin * işlemine göre etkisiz (birim) elemanı vardır.
4) g'deki her elemanın * işlemine göre tersi vardır.
eğer (g,*) cebirsel yapısı yalnız 1. ve 2. aksiyomları sağlıyor ise bir "yarı grup"'tur.
(g,*) bir grup ve * işleminin değişme özelliği de var ise (g,*) bir değişmeli grup'tur.
ilgili teoremler:
teorem: bir grupta birim eleman tektir.
ispat: (g,*) bir grup ve e ve f de iki etkisiz eleman olsun.
her a elemanıdır g için a*e=e*a=a, e birim eleman
f elemanıdır g olduğuna göre f*e=e*f=f
f de birim eleman olduğuna göre f*e=e*f=e dir.
=> e=f dir.
2)bir grupta her elemanın tersi tektir.
ispat: (g,*) bir grup ve a elemanıdır g ve a'nın tersi, a1 ve a2 olsun.
birleşme özelliğinden a2*(a*a1) = a2*e
=> (a2*a)*a1 = a2
=> e*a1 = a2
=> a1 = a2
