"yaklaş bana.
sakın korkma.
sana hastayım.
anlasana."
hadise, bu şarkı sözlerini yazarken; öss sınavına hazırlanırken çalışmış olduğu türev konusu aklına gelmiş olabilir.
(bkz: sir isaac newton)
(bkz: gottfried wilhelm leibniz)
türev matematiksel anlamda bir fonksiyonun o noktadaki eğimidir. aslında basit ama bir o kadar da hassas bir olgudur. bundan dolayı zaten matematik literatürüne girmesi yüzyıllar ve newton (bu noktada calculusun yapımında ve yayımında emeği geçen diğer büyük matematikçi abilerimiz ki kendileri liebniz, cauchy, wierstrass saygıyla anıyoruz) gibi bir dahi gerektirmiştir.
şimdi türevi tanımlamak için birkaç şeye ihtiyaç var, teknik açıdan, ama evvela olayı bir kafamıza oturtmak lazım. türev dediğimiz şey gavurların 'instantaneous' yani anlık, bir an için, bir enstantanedeki değişimin oranıdır. bu ifade ilk atapta çok mantıksız gelir çünkü değişim dediğiniz olay bir süre çerçevesinde gelişir. yani bir akış vardır ama biz olayın bir enstantenesindeki değişim oranıyla ilgileniyoruz. yani ya değişim olmayacak ya da anlık olmayacak, ikisinin bir arada olması pek mümkün gözükmüyor. bunu anlamak için şöyle yapalım, en favori reel değerli tek değişkenli fonksiyonunuzu kapın gelin. bunu bildiğimiz koordinat düzlemine çizelim. şimdi, bunun herhangi bir noktasını işaretledik, ne istiyoruz, tam olarak bu noktadaki değişimin (burada değişimden kasıt fonksiyonunun değerindeki değişim) oranını istiyoruz. ama az önce bahsettiğim pardoksumsu olayın yüzünden nasıl yapacağımızı düşünmemiz lazım. matematikte mentalite şudur arkadaşlar, bildiğin şeyden başla sonra bunu bilmediğin şeye uydurmaya çalış. ne biliyoruz mesela iki nokta arasındaki değişimin oranını bulabiliriz. ortalama bir değer verir ama bulabiliriz. nasıl yaparız, iki noktayı seçeriz, bu iki noktadan bir doğru geçiririz, bu doğrunun eğimi bize iki nokta arasındaki değişimin değerini verir. buradan bir yerlere varabiliriz gibi. uzatmayacağım, bu iki noktayı birleştirsek bu sefer yine bir değişim yok, elimize bir şey geçmiyor dolayısıyla iki nokta arasındaki mesafeyi (fonksiyon üzerindeki mesafeleri) sıfır yapamayız ama bunu sıfıra yaklaştırabiliriz. ne kadar? istediğimiz kadar...olabildiği kadar.. dedim ya bildiğimiz şeyleri kullanırız ne biliyoruz elimizde ne var limit. o zaman bu iki fonksiyon üzerindeki noktaların arasındaki meseafenin sıfıra giderken limitini alsam bu bana işte o istediğim noktadaki değişimin oranını verir ki grafiksel anlamda bu da o noktadaki teğetin eğimidir. bakın anlık demiyorum, anlık değil çünkü mesafe sıfır değil, dx kadar bir fark. küçücük ama bir o kadar da mühim... ayrıca şunu da bir düşünün, dx'i istediğimiz kadar yani teori de en azından küçültebiliyoruz, fonksiyonumuz da var peki bu fonksiyonun altında kalan alanı düşünsek mesela. alan, dx, fonksiyon, türev... evet, evet doğru dedin. kalkülüsün temel teoremi...bağlantıyı görebildiniz mi?
yukarda yazdığım buluşsal tanımdan dolayı ilk limit, sonra süreklilik ardından türev öğretillir. çünkü kullanılan ana araç limittir. süreklilik ile ne alakası var derseniz, noktamızın dibinde istediğimiz gibi hareket edebiliyor olmamız lazım (dx'i düşünün), süreksizlik varsa bu hareketi yapamayız. yani süreklilik yoksa türev de yok. ama süreklilik varsa kesin türev var diyemeyiz bakmamız lazım olmayabilir. örnek olarak tüm reel sayılar üzerinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu ve sıfır noktası. limit ve süreklilik olayı çözüldükten sonra aslında bu tanımı yapmak matematiksel anlamda kolay daha boyutu yüksek uzaylara da kolayca adapte edilebilir.
açıkcası, türevi kullanmak falan önemli şey tabii ama onu anlamak mesela onu tanımlayabilmek veya neden bu şekilde tanımlandığını anlamak çok daha mühim.
.
5 yıllık sayısal mf-4 ile yerleşilmiş mühendisliğin dallarından biri sayılan bir bölümü bitirmek üzereyim, hala görsem tanımam. kendisine çok yabancıyım. sınav kağıtlarından sınav kağıtlarına görüyorum. neyse ki kopya çekip geçiyoruz.
Boyutlar ile alakalıdır. En küçük birimi bilmeyi gerektirir. Türevi iyi anlamak için; Çizginin en küçük biriminin nokta olduğunu, noktaların bir araya gelerek çizgiyi oluşturduğunu, bunun tek boyut olduğunu; Çizgilerin bir araya gelerek 2 boyutu oluşturduğunu (örnek: kare),
2 boyutluların bir araya gelerek 3 boyutu oluşturduğunu (örnek: küp)
3 boyutluların bir araya gelerek 4. Boyutu oluşturduğunu bilmemiz gerekir. Tabi, bizim evrenimiz 3 boyutlu olduğu için 4. Boyutun gerçek görüntüsünü bilemiyoruz; 4. Boyutun sadece bizim evrenimizdeki görüntüsünü bilebiliyoruz...
Çizginin en küçük birimi nokta olduğu için, çizgiyi büyütmek amacıyla çizginin ucuna bir tane nokta eklediğimizde, bu nokta, o çizginin türevidir. Çünkü o çizgi için mümkün olabilecek en küçük büyüme, budur.
Bu tek boyutlunun türevine örnekti. Şimdi 2 boyutluların türevine örnek vereceğim. bir kare düşünelim. Bu kareyi oluşturan en küçük birim nedir? Çizgidir. Çünkü 2. Boyutu oluşturan en küçük birim çizgidir. Bu yüzden kareyi büyütmek için, bir tane yan tarafına bir tane de üst tarafına çizgi ekleriz. Bu 2 çizgi, o karenin türevidir. Çünkü kare için mümkün olan en küçük büyüme, budur.
3 boyutta da aynı mantık geçerli.
Kısaca türev, en küçük birimi bilmemizi gerektiren bir matematik konusudur. Not: Sözel bölüm mezunuyum ama sonradan matematik aşkı başladı içimde yeni yeni...
türev herhhangi bir zaman aralığındaki en küçük değişim miktarıdır.
örneğin 1 bir sabittir. sabitin türevi neden 0'dır çünkü 1 -yani sabit- aslında bir noktadır ve noktanın büyüklüğünü değiştirebilecek kendisinden daha küçük bir parçası olmadığından ötürü noktaya bu olmayan parçayı ekleyemeyiz veya ondan çıkartamayız. işte türev özünde bu eklenen veya çıkarılan parçanın minimum miktarıdır.
mesela x noktadan oluşan bir çizgiyi en küçük değişim miktarı ile büyütürsek x+1 noktalı çizgi olur. yani değişim +1 noktadır. x'in türevi bu yüzden 1'dir.
x kare alandan oluşan bir kare düzlemde yapılabilecek en küçük değişim miktarı 2x tir. çünkü karenin eni ve boyu toplamda 2x uzunluğundadır.
x küp hacimden oluşan bir küpte yapılabilecek münümum miktardaki değişim ise 3x kare kadardır. çünkü kübün en boy ve yüksekliğe sahip olmasından kaynaklı her biri x kare değerinde olan üç farklı alanı vardır.
tesseractte ise minimum değişim miktarı 4x küp kadardır. yani kendisinin bir alt boyutu olan küpten dört tane kadardır.
lakin bu seneki matematik hocamız dersi sadece teori olarak gösterdiği için sevimliliğini kaybedecek gibi hissediyorum. adam tüm konuda 1-2 örnek gösteriyor teori anlaşılamadığı için. türev hakkında örnek çözmek bana kalırsa daha zevkli.
Bazılarının hayatının dönüm noktası olarak aklında yer etmiş matematiksel kavram. Bazen çayın dibini görünce de türev alırdık biz. https://galeri.uludagsozluk.com/r/1509871/+
Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktadaki teğetinin eğimi. Bir işlemi en avantajlı şekilde nasıl yapacağımızı bilmek istiyorsak türev kullanmak en mantıklı yoldur. Çünkü grafiklerin maximum ve minimum noktalarında eğim sıfır olur. Yani bir şeyi maximum verimle yapmak istediğimizde Tek yapmamız gereken işlemi bir fonksiyon biçiminde yazmak ve ardından türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları tespit etmektir. Bu noktalar bize işlemi yapmamız gereken en mantıklı anı verecektir.
