mükemmel sayı,kendisi hariç çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır.bilinen bütün mükemmel sayılar, çift sayıdır (6,28,496,8128, gibi' ).acaba mükemmel tek sayı var mıdır.' varsa, saklandığı yerden bulup çıkartınız. yoksa,olmadığını ispatlayınız. çözüm :
mükemmel çift sayılar,2'.( 2''¹ - 1 ) kuralına göre yazılabilirler.
n = 1 için n = 2 için n = 4 için 2 . 3 = 6,2² . 7 = 28,2'.31=496 gibi
dikkat edilirse,2'' çift sayıdır ve ( 2''¹ - 1 )ise tek,sayıdır.çarpımı da çift sayı olur. mükemmel tek sayı var ise çarpanları tek sayı olmalıdır ki tek sayıyı versin.yani, x = ( 2k + 1 )'.[a] şeklinde yazabiliriz.x: mükemmel tek sayı kabul edelim.
[a]: tek ve asal sayı olsun.(2k+1): tek ve asal sayı olsun.
burada x tek sayı olduğu için asal çarpanlarına ayrıldığında asal çarpanları da tek sayıdır.(2k+1)'+(2k+1)¹+(2k+1)²+'+(2k+1)'+a+a.(2k+1)¹+a.(2k+1)²+'+ a.(2k+1)'¯¹ =(2k+1)'.a = x şeklinde yazılabilir. buradan hareketle,' _(p=o)^n(2k+1)'+a .' _(p=o)^(n-1)(2k+1)'=(2k+1)'.a '((2k+1) '^(+1)-1)/(( 2 k+1 )- 1) +a . (( 2 k+1 )'-1)/(( 2 k+1 )- 1) =( 2 k+1 )'.a'((2 k+1)'^(+1)-1)/(2k)+a.((2k+1)'-1)/(2k)=(2k+1)'.a
ifadesi elde edilir. burada a, tek ve aynı zamanda asal sayı olmalıdır.
k=1 için ve n=1 için 'a=((2k+1)'^(+1)- 1)/(( 2 k+1 )'.(2k-1)+1)
'a=(3'^(+1)-1)/(3'+1)=(3²-1)/(3+1)= 8/4=2 2 asal sayıdır,fakat çift sayı olduğundan çarpım tek sayı çıkmaz. yani 2.3=6 sonucu çıkar.a=3 olsun(k=1 için)3=(3'^(+1)-1)/(3'+1)'3.3'+3=3'^(+1)-1 '3'^(+1)+3
=3'^(+1)- 1 '3 '-1 sağlamadı. a=3 ve k=2 olsun 3=(5'^(+1)-1 )/(5 '.3+1)'9.5'+3=5.5'-1 '4.5' =-4'5' = -1(bu eşitliği sağlayacak 'n' tam sayısı yoktur.)aynı şekilde işlemlere devam edilirse, bu eşitliği sağlayacak a, tek ve asal sayı olacak şekilde(k) ve (n) tam sayıları yoktur.sonuç olarak, mükemmel tek sayı yoktur.
