Matematiğin dünyadaki yeri nedir? Matematik dünyası "dışarıda" mı var yoksa sadece zihnimizde mi? Keşfedilmiş mi yoksa icat edilmiş mi? Bunlar hem matematiğin temellerinde hem de matematik felsefesinde önemli sorulardır ve bu makalede ele almaya çalıştığım sorulardır.
Bu makale beş bölüme ayrılacaktır. ilk olarak, Roger Penrose'un "üç dünya ve üç gizem" teorisini, tartışma için büyük resmi sağlayan metafizik bir çerçeve olarak sunacağım. Sonra, Reuben Hersh'in çeşitli çalışmalarında tartışıldığı gibi, matematiğin bir "zihinsel model" olduğu fikrini özetleyeceğim. Bundan sonra, Hersh'in teorisine itiraz ederek matematiksel Platonizmi savunacağım. Dördüncü bölümde, üç dünya çerçevesinde "fenomenal ve noumenal" matematiğin yerini ayrıntılı olarak açıklayacağım. Son olarak, çok önemli olan şu soruyu yanıtlamaya çalışacağım: Matematik keşfedilir mi yoksa icat edilir mi?
Roger Penrose, insan zihninden bağımsız bir “matematiksel dünya”nın varlığına inanan bir ingiliz matematiksel fizikçi ve matematiksel bir Platoncudur. Penrose, kitabının ilk bölümünde, The Road to Reality'de , “üç dünya ve üç gizem” adlı metafizik teorisini tartışır. Bu teoriye tamamen katılmasam da, bir meslektaş matematiksel Platoncu olarak, teorinin genel yapısına katılıyorum ve kendi metafizik görüşlerimi düzenlemek için yararlı bir çerçeve ve mevcut tartışmamız için uygun bir sıçrama tahtası olduğunu düşünüyorum.
Bu teori, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi , üç varoluş biçimi veya "dünya" olduğunu belirtir: fiziksel, zihinsel ve Platonik matematiksel:
Platonik matematik dünyasını fiziksel dünyaya bağlayan 1 numaralı ok'tan başlayarak saat yönünde ilerlersek şekil şu şekildedir:
Platoncu matematik dünyasının küçük bir kısmı fiziksel dünyayla ilgilidir;
Fiziksel dünyanın küçük bir parçası zihinsel dünyayı tetikler; ve
Zihinsel dünyanın küçük bir kısmı Platoncu matematik dünyasıyla ilgilidir.
Platonik matematik dünyasını zihinsel dünyaya bağlayan 3 numaralı ok'tan başlayarak saat yönünün tersine doğru gidildiğinde şekil şu şekildedir:
Platon'un matematik dünyasının tamamı (ilke olarak) aklın kapsamı içindedir;
Tüm zihinsel dünya fiziksel dünyaya bağımlıdır; ve
Bütün fiziksel dünya Platoncu matematik dünyası tarafından yönetilir.
Tamamen tartışmasız olmasa da, saat yönünde okumadaki ifadeler, genellikle, Penrose'un önyargılarını ortaya koyan saat yönünün tersine okumadaki ifadelerden daha fazla kabul görmektedir . Yukarıdaki şeklin saat yönünün tersine okumasındaki ifadelere katılmayanları memnun etmek için Penrose, şekli şu şekilde yeniden çizmiştir:
Saat yönünde gidildiğinde, bu rakam daha öncekiyle aynı şekilde okunur. Ancak saat yönünün tersine gidildiğinde, bu rakam artık şunu sağlar:
Aklın (ilke olarak) erişemeyeceği matematiksel gerçeklerin olasılığı;
Fiziksel yapılarda kök salmamış bir zihniyetin olasılığı; ve
Matematiksel kontrolün kapsamının ötesinde fiziksel eylemlerin olasılığı.
Penrose'un her dünya çifti arasındaki ilişkiye dair tanımını özetlemek gerekirse:
Dünya Çifti ilişki (Penrose'un Tanımı)
1. Platonik Matematik ve Fizik • Platonik Matematikselden Fiziksel Dünyaya : Platonik matematiksel dünyanın küçük bir kısmı fiziksel dünyayla ilgilidir.
• Fizikselden Platonik Matematiksele : (a) ya tüm fiziksel dünya Platonik matematiksel dünya tarafından yönetilir ya da (b) bazı fiziksel eylemler matematiksel kontrolün kapsamının ötesindedir.
2. Fiziksel ve Zihinsel • Fizikselden Zihinsele : Fiziksel dünyanın küçük bir parçası zihinsel dünyayı tetikler.
• Zihinselden Fiziksele : Ya (a) zihinsel dünyanın tamamı fiziksel dünyaya bağımlıdır ya da (b) bazı zihniyet biçimleri fiziksel yapılarda kök salmamıştır.
3. Zihinsel ve Platonik Matematik • Zihinsel-Platonik Matematiksel : Zihinsel dünyanın küçük bir kısmı Platonik matematik dünyasıyla ilgilenir.
• Platonik Matematikselden Zihinsele : Ya (a) Platonik matematiksel dünyanın tamamı aklın (ilke olarak) kapsamındadır ya da (b) aklın (ilke olarak) erişemeyeceği bazı matematiksel gerçekler vardır.
Bu açıklamalar tamamen doğru olmayabilir ve kesinlikle evrensel olarak kabul görmezler. Ancak, herkes bu üç dünya çiftinin üç derin gizemle ilişkili olduğu konusunda hemfikir olacaktır.
Birinci dünya çifti, "matematiğin mantıksız etkinliği" gizemiyle ilişkilendirilir: Matematiksel yasalar fiziksel dünyaya neden bu kadar kesin bir şekilde uygulanır? Ve bu, dünyanın tamamen matematiksel olduğunu savunan bazı düşünürler için ilişkisinin araştırılması önemli olan bir çifttir. Örneğin, fizikçi Max Tegmark, Our Mathematical Universe adlı kitabında evrenimizin yalnızca matematikle tanımlanabileceğini değil, evrenimizin MATEMATiK olduğunu savunur.
ikinci dünya çifti bilinç gizemiyle ilişkilidir: insan beyni gibi bazı fiziksel materyaller bilinci nasıl ortaya çıkarabilir? Bilincin doğası nedir? Fiziksel materyallerden mi ortaya çıkar, yoksa temelde farklı bir şey midir? insan zihinleri fiziksel dünya hakkında nasıl bilgi sahibi olabilir? Bu sorular ve diğerleri zihin felsefesi ve epistemolojide önemli ve sürekli sorulardır ve gelecekte yapay zeka gibi teknolojiler daha olgunlaştıkça muhtemelen daha fazla ilgi görecektir.
Üçüncü dünya çifti matematiksel bilginin gizemiyle ilişkilidir: Matematiksel gerçeği nasıl algılayabiliriz? "Sıfır", "bir", "iki", "üç" vb.'nin gerçek anlamlarını nasıl kavrayabiliriz? Matematikçiler "matematik yaptıklarında" tam olarak ne yaparlar? Matematik icat mıdır yoksa keşfedilmiş midir?
ilk iki dünya çiftiyle ilişkili gizemler çok derin, ilginç ve önemli gizemler olsa da, bu tartışmanın ana konusu, matematiksel bilgiyle ilgili olan bu son gizem ve özellikle yukarıda ortaya atılan son iki soru olacaktır.
Bir sonraki bölümde, Hersh'in "Matematikçiler 'matematik yaparken' tam olarak ne yaparlar?" sorusunun cevabının ne olduğunu düşündüğünü özetleyeceğim.
II. Hersh'in "Zihinsel Model Olarak Matematik" Teorisi
Reuben Hersh, "matematiğin doğası, uygulaması ve toplumsal etkisi üzerine yazılarıyla tanınan" Amerikalı bir matematikçidir. Hersh, eserlerinde matematiğin ontolojik doğası üzerine üç pozisyonu karşılaştırır: Platonculuk, nominalizm ve kendi pozisyonu olan matematiği zihinsel model olarak ele alır. Aşağıdaki paragraflarda, Platonculuk ve nominalizm kısaca açıklanacak ve ardından Hersh'in "zihinsel model" teorisi hakkında daha kapsamlı bir tartışma yapılacaktır.
Platonizm, önceki bölümde bahsedildiği gibi Roger Penrose'un savunduğu konumdur. Çoğu geleneksel matematikçi ve benim savunduğum konumdur. Platonizme göre, matematiksel nesneler (ve onların ilişkileri ve yapıları) gerçektir, Platonik bir matematiksel dünyada "dışarıda" mevcuttur ve onlar hakkında yapılan ifadeler veya matematiksel ifadeler, sabit, ebedi ve değişmez nesneler hakkında oldukları için kesin doğruluk değerlerine sahiptir. Bu nedenle, matematiksel bir Platoncu, matematiğin icat edilmediğine, keşfedildiğine inanır. Hersh'in de açıkladığı gibi: "Platonculuğa göre, bir matematikçi bir jeolog gibi deneysel bir bilim insanıdır; hiçbir şey icat edemez, çünkü her şey zaten oradadır. Yapabileceği tek şey keşfetmektir." Ünlü matematiksel Platoncular arasında, "Duyusal deneyimden uzak olmalarına rağmen, [matematiksel nesneler] hakkında da bir tür algıya sahibiz... Duyusal algıdan daha az güvenmemiz için hiçbir neden göremiyorum... Onlar da nesnel gerçekliğin bir yönünü temsil edebilir." diyen René Thom ve Kurt Gödel yer alır.
Matematiksel nominalizm (bundan sonra “nominalizm”), matematiksel nesnelerin hiç var olmadığı veya Platoncu anlamda soyut nesneler olarak var olmadığı görüşüdür. Tartışma uğruna, ilk görüşe “güçlü nominalizm” ve ikincisine “zayıf nominalizm” diyeceğim. Zayıf nominalizm daha popülerdir ve “nominalistlerin prensi” William of Ockham tarafından savunulur. Hersh'in alıntıladığı gibi, şöyle yazmıştır: “Zihnin dışındaki hiçbir şey evrensel değildir… Zihnin dışındaki bir şeyin herhangi bir şekilde evrensel olması, bir adamın eşek olması kadar imkansız bir şeydir.” O halde zayıf nominalistlerin, matematiksel nesnelerin en fazla yalnızca zihinde var olabileceğine inandıkları söylenebilir.
"Zihinsel model olarak matematik" Hersh'in kendi pozisyonuna verdiğim isimdir. Hersh'in, Platonculuk veya nominalizmin, kendi görüşüne göre, matematiğin "matematikte yaşayan eğitim ve... matematikte yaşayan araştırma"da gerçekte nasıl hissettirdiğini tarif etmedeki yetersizliğini gidermeye çalıştığı pozisyondur. Hersh, matematiksel nesnelerin Platonik bir matematiksel dünyada soyut nesneler olarak var olmadığını düşünür, ancak güçlü nominalistin hiç var olmadığı fikrine de katılmaz. Aksine, onun pozisyonu zayıf bir nominalistin pozisyonuna daha yakındır (ve aslında, iddia edeceğim gibi, esasen aynıdır ): matematiksel nesneler yalnızca zihinde var olur. Anladığım kadarıyla, iki pozisyon arasındaki tek iki fark şunlardır: (1) Hersh, matematiksel nesnelerin bir biçimde veya gerçekleşmede zihinsel nesneler oldukları için, bunların aynı zamanda fiziksel olarak beyinlerimizde mevcut olduklarını, dolayısıyla uzay-zamanda "var olduklarını" özellikle belirtir ve (2) Sadece matematiksel nesnelerin zihinde var olduğunu söylemekle kalmaz, aynı zamanda bunların zihinde nasıl var olduğunu, yani zihinsel modeller olarak var olduklarını da açıklar.
