matematikte, fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların (sinüs ve kosinüs) toplamına çevirir, bir diğer şekilde compleks üstel fonksiyonla, eixko li forma çevirir. fourier serileri fourier analizin bir koludur. fourier serileri 1768-1830 da joseph fourier tarafından bir metal çubuk veya levhadaki ısı denklemlerinin çözümü için kullanılmıştır.
bir ısı denklemi, parçalı bir diferansiyel denklemdir. fourier'in bu çalışmasından evvel, bu tür ısı denklemlerine genel bir çözüm yoktu. her ne kadar parçalı yaklaşımlar olsa da yeterli değildi çünkü bu yaklaşımlar ısı dağılımının basit denklemlere göre dağıldığını varsayaraktan probleme yaklaşıyordu. (mesela: eğer ısı kaynağı bir sinüs veya kosinüs denklemiyse...) bu temel/basit çözümler eigençözüm olarak adlandırılıyorlardı. fourier'in düşüncesi basit denklemleri (sin ve cos) katsayılarla üstüste ekleyerek karmaşık ısı kaynağı kombinasyonları oluşturmaktı. denklemlerin belli katsayılarla toplamı fourier serisi diye adlandırılır.
her ne kadar ilkin bu yöntem ısı problemlerinin çözümü için uygulanmışsa da daha sonraları görülür ki çok geniş bir perspektifdeki fonksiyonlara aynı yöntem uygulanabilmektedir. basit örmeklerin anlaşılması teorinin modern halinin kullanılmasıyla epey basitleşmiştir.
fourier serileri elektrik mühendisliğinde, titreme analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, resim işlemesinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
fourier serilerinin modern haline joseph fourier (1768-1830) getirmemişse de onun onuruna, trigonometrik serilerde yaptığı önemli buluşlar için, fourier serileri şeklinde adlandırılmıştır. i̇lk araştırmaları leonhard euler, jean le rond d'alembert ve daniel bernoulli yapmışlardır. fourier bu araştırma ve sonuçlarını ısı sorularına uygulamıştır ve ilk sonuçları mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides adıyla 1807de ve théorie analytique de la chaleur adıyla 1822 de yayınlamıştır
modern bir bakış açısıyla bakıldığında fourier'in sonuçları informaldir. çünkü o 19. yüzyılda bu sonuçları hesaplarken fonksiyon ve integraller gerekli kesinlik gereksinimlerini karşılamıyordu. daha sonraları dirichlet ve riemann fourier'in bu denklemlerini modern hesaplamalarıyla formalliğe ve kesinliğe kavuştururlar
bu, sinyal işlemede kullanılan çok iyi bir yöntem ama insanın tam olarak anlayasıya kadar ebesi zikiliyor. karmaşık bir sinyalin, bir sürü farklı frekanslardaki sinyallerin toplamı şeklinde yazılması ile bu frekansların toplamı şeklinde ifade edilmesine dayanır.
lineer öteleme ile değişmeyen sistemlerin analizi incelenirken, sinyallerin ötelenmiş birim dürtü sinyallerinin doğrusal kombinasyonu şeklinde verilen ifadesi; birim dürtü sinyalleri ile ifade edilebildiği gibi karmaşık üstel sinyallerle de ifade edilebilir. bu sofistike seri açılımı fourier dönüşümü olarak bilinir.
