muhtelif kaynaklarda; bilimin sonu yoktur "çünkü madde her zaman farklı davranacaktır" ya da "bilindiği kadarıyla bilimsel gelişmelere en ufak bir katkı sağlamak ya da bir olgunun yanlış olduğunu göstermek, bilimi ileriye taşıyacaktır" gibi argümanımsı cümlelerle ispatlanmaya çalışılan bir önerme. halbuki bu olgunun matematiksel kanıtı kurt gödel tarafından 1930'lu yıllarda yapılmış, bu cümle artık bir gerçek haline gelmiştir.
gödel özellikle matematik camiasında einstein ayarında bir adam olarak bilinir. zaten einstein ve gödel çok yakın arkadaşlardır, ortak fikirleri ve çalışmaları mevcuttur. einstein öldüğünde gödel de kederlere boğulmuş ve depresyona girmiştir, içine kapanmış ve en yakınlarıyla bile sadece telefonda konuşmaya başlamıştır. bugünkü modern matematiksel mantığın gödel'in eseri olduğu rahatlıkla söylenebilir.
tabii gödel direkt olarak bu cümleyi kanıtlamamıştır. bu cümle kanıtladığı birtakım teoremlerin bir sonucudur. temel olarak kanıtladığı şeyler şunlardır:
teorem 1 (gödel'in birinci eksiklik teoremi, 1931): doğal sayılar, çarpmayı ve toplamayı ifade edecek bir güçte olan ve neyin aksiyom olup olmadığı anlaşabilen çelişkisiz bir sistemde doğru olan ama kanıtlanamayan bir önerme olmak zorundadır.
bu teoremi kabaca şöyle kanıtlamıştır. sadece doğal sayıları, toplama ve çarpmayı kullanarak 'bir anlamda' çok kabaca, "ben kanıtlanamam" diyen bir cümle yazmıştır. şimdi bu cümlenin eğer kanıtı olsa o zaman sistem çelişkili olurdu. demek ki sistem çelişkisiz ise bu cümlenin kanıtı olamaz ve cümlenin kanıtı var olmadığından, "ben kanıtlanamam" cümlesi doğrudur. demek ki matematik sistemi çelişkisiz ise, "ben kanıtlanamam" cümlesi doğrudur ama kanıtlanamaz.
teorem 2 (gödel'in ikinci eksiklik teoremi) : doğal sayıları, çarpmayı, toplamayı anlayacak güçte olan bir matematik sistemi hiçbir zaman kendisinin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamaz.
tabii bu teorem, matematiğin çelişkili ya da çelişkisiz olduğunu söylemiyor. sadece çelişkisiz olduğunun kanıtlanamayacağını söylüyor. çelişkili olduğu kanıtlanabilir, kolay değil belki ama en azından bir yöntemi var; bir çelişki bulmak! ancak çelişkisiz olduğunu kanıtlamak imkansızdır.
bu teoremler 1930ların başında zamanın ötesinde olan teoremlerdi ve matematik camiasına bir süpriz yaşattılar. gödel 1930'da königsberg'de bu konuda ilk defa konuşma verdiğinde, kimse bu teoremin tam olarak ne demek istediğini anlayamamıştır, değeri birkaç yıl sonra anlaşılmıştır.
şimdi,
matematiğin nasıl sonu gelebilir? artık kanıtlanacak bir şey kalmadığında, yani olabilecek bütün önermelere bakılıp; hepsine doğru ya da yanlış yanıtlarından biri verilmiş olmalı.
eğer kullandığımız matematik sistemi çelişkiliyse önümüzde o çelişkinin bulunması ve giderilmesi gibi hedef söz konusu. çelişkiyi gidermek çeşitli şekillerde mümkün olabilir; örneğin sisteme yeni bir aksiyom eklemek ya da sistemi baştan aşağı yenilemek gibi. diyelim ki bilinen çelişkiler bir şekilde giderildi ama ikinci teoreme göre zaten sahip olduğumuz sistemin çelişkisiz olduğunu kanıtlayamayız. hadi diyelim ki, kanıtlayamıyoruz ama çelişkisiz bir sistemimiz var, o zaman da birinci teoreme göre bu sistemde doğru olan ama kanıtlanamayan bir önerme olacaktır.
dolayısıyla matematiğin sonu hiçbir zaman gelemez. her aşamada ya daha iyi bir sisteme ihtiyaç duyuyoruz ya da doğruluğundan emin olduğumuz ama kanıtlayamadığımız bir önermeye sahip oluyoruz.
peki, sorulmadan şu soruya yanıt vereyim: o doğruluğundan emin olduğumuz önermeyi kanıtlamanın bir yolu yok mu? var tabii ki, yanlız teorem 1'e göre, içinde bulunduğumuz sistemde bu imkansız. yani sistemi genişletmemiz lazım, ya bir aksiyom ekleyeceğiz ya da var olan aksiyomların hakimiyet alanlarını genişleteceğiz mesela. yalnız bu durumda da, aynı sorun devam ediyor. bu yeni kuracağımız sistem de doğal sayıları içerecek ve aynı nedenle 1. teorem burada da geçerli, yani belki o ilk düşündüğümüz önerme değil ama burada da doğru olan ama kanıtlanamayan bir önerme var ve dolayısıyla ne yaparsak yapalım böyle bir önerme örneğine sahip olacağız.
yazıda doğal sayıları birkaç kez vurgulamamın bir anlamı var: bundan 4000-5000 bin yıl önce, matematiğin m'si yokken doğal sayılar vardı. insanlar koyunlarını sayıyorlardı, alışveriş yapıyorlardı. adı üzerinde zaten matematik ile bir alakası yok bunların; doğal sayı. gödel'in teoremlerini bu kadar çarpıcı yapan şey de budur, olmazsa olmaz bir yapıyı (en basit yapı aynı zamanda) doğal sayıları içeren bir sistem için bile bu iddia ettiği şeyler doğru. doğal sayıların yer almadığı bir toplum, matematiksel sistem, bilim varolması söz konusu olamaz.
sonuç1: matematiğin sonu yoktur!
sonuç2: matematiğin sonu yoksa fiziğin de sonu yoktur, fiziğin sonu yoksa kimyanın da sonu yoktur, kimyanın sonu yoksa psikolojinin de sonu yoktur, psikolojinin sonu yoksa sosyolojinin de sonu yoktur! (şu noktada bir şey belirtmek istiyorum: bu bilim dalları birbirlerinin uygulamalarıdır diye çok iddialı, ve bence doğru olmayan, bir durumu savunmuyorum. ancak şu bir gerçek ki; bu bilimlerin birbirlerinin uygulamaları olan alt dalları vardır)
dipnot ve sonuç3: bu kadar yazmışken şunu da belirteyim. gödel'in bu teoremleri matematikçilerin inandığı kutsal değerleri yıkmıştır bir bakıma. kimi yerlerde insanın karşısına şu veya benzer ibareler çıkabilir: "gödel'in teoremleri tanrı'nın varlığını ispatlamak için kullanılabilir". bu cümle (tabii ki) doğru olmamak ile birlikte, doğruluk payı olabilecek bir cümledir. düşünün ki, doğru olduğundan emin olduğunuz bir şey var elinizde ama bunu kanıtlamanızın imkanı yok, daha doğrusu bu sonu gelemeyecek bir süreç. elinde nasıl bir matematiksel sistem, nasıl bir enstrüman olursa olsun gerçeğe sadece biçimsel olarak ve mantıkla ulaşılamaz! (bu da bir anlamda insanların bilgisayarlardan üstün olduklarını (en azından bu konuda) ve her zaman da üstün olacaklarını da alttan alttan vurgulamaktadır)
( kaynaklar: sezgisel kümeler kuramı - ali nesin, wikipedia )
