Teorem: Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
ispat: Aksine varsayımda bulunup asal sayıların sonlu sayıda bulunduğunu ve
a1<a2<a3<...<an sıralamasında bulunduğunu düşünelim (2<3<5<... şeklinde yani).
Şimdi yeni bir sayı tanımlayalım p=a1.a2.a3....an
Bu p sayısı içindeki tüm asal sayılara bölünür, dikkatinizi çekiyorum. ve bilmemiz gereken bir şey var ki tüm sayılar bazı asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. unutma!
şimdi p sayısının bir eksiğine yani p-1 sayısına bu kuralı uygulayalım ve diyelim ki p-1 sayısının en büyük asal böleni ak olsun. (bölenden kasıt tam bölmek).
Biliyoruz,1: ak sayısı yukarıda tanımlanan p'yi böler.
biliyoruz, 2: ak sayısı p-1 sayısını böler.
biliyoruz 3: ak sayısı hem p'yi hem p-1'i bölerse farklarını da böler, peki p ile (p-1)'in farkı ne?
p-(p-1)=1 yani ak sayısı 1 sayısını böler ama ama ama? 1 sayısını bir asal sayı (diyelim 73) nasıl tam bölebilir ki?? bölemez değil mi? bölemez. şu ana kadar yaptığımız matematiksel işlemlerde bir problem olmadığına göre bizi bu sonuca ulaştıran varsayım hatalı olmalı yani asal sayıların sonlu sayıda olması gerçekten yanlış olmalı. bu da bize gönül rahatlığıyla asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu söylüyor.
