integral

entry339 galeri video1
    327.
  1. ivmeli hareket eden bir nesnenin ne kadar yol aldığını bulurken kullanılan yöntemdir. v=0 hızla başlayıp a ivmesiyle t sürede hareket eden bir nesne, x mesafe alsın.

    dx/dt=v olduğunu bilmek kaydıyla,

    =int(t,0)(v dt)
    =int(t,0)(at dt)
    =1/2(at^2)-1/2(a(0^2)=1/2(at^2)+c.

    denklemi verilen bir çemberin alanını da integral ile bulabiliriz.

    x^2+y^2=4 olan bir çember olsun, buradan yarıçapın 2 birim olduğu görülür.

    y^2=4-(x^2)

    =int(2,-2)(y dx)
    =int(2,-2)(kök(4-x^2) dx)

    not: burada polinom işlemlerinden yararlanmak yerine trigonometrik özdeşlikleri kullanmamız gerekir.

    x=2sinu ise dx=(2cosu)du olmalıdır.

    =int(2,-2)(kök(4-4(sin^2u))2cosudu)
    =int(2,-2)(kök(4cos^2u)2cosudu)
    =int(2,-2)4(cos^2udu)
    2cos^2u-1=cos2u ise (cos2u+1)/2=cos^2u.
    =4int(2,-2)((cos2u+1)/2)*du)
    =2int(2,-2)((cos2u+1)*du))
    t=2u ise dt=2du olur.
    =2int(2,-2)((cost+1)*dt/2))
    =int(2,-2)((cost+1)dt))

    2
    |
    | -sint+t.
    |
    -2

    t=2u olduğundan

    2
    |
    | -sin2u+2u.
    |
    -2

    x=2sinu ise u=arcsin(x/2)*
    2
    |
    | -sin(2arcsin(x/2)+2(arcsin(x/2)).
    |
    -2

    sin2x=2sinxcosx

    arcsin(x/2)=arccos(kök(1-(x^2/4))) eşitliğinden

    sinu=2*x/2*kök(1-(x^2/4))
    sin2u=x*kök(1-(x^2/4))

    2
    |
    | -sin(2arcsin(x/2)+2(arcsin(x/2)).
    |
    -2

    2
    |
    | -x*kök(1-(x^2/4))+2(arcsin(x/2)).
    |
    -2

    =-x*kök(1-(x^2/4))+2(arcsin(x/2))+c

    -2*kök(1-(2^2/4))+2(arcsin(2/2)) - (-x*kök(1-(2^2/4))+2(arcsin(-2/2)))

    arcsin(1)=π/2
    arcsin(-1)=-π/2

    π+π=2π (sadece x'in üst kısmı için, alt kısmının da aynı alana sahip olduğunu bildiğimizden 4π)

    sayısız problemin çözümünde integralden yararlanılabilir.
    0 ...